La bellezza e potenza della Teoria dei Gruppi

 

Circa cento anni fa, i matematici si erano resi conto che molti dei problemi incontrati in fisica, chimica e matematica potevano essere descritti da una nuova struttura algebrica: il Gruppo. E la cosa affascinante  era che un singolo gruppo poteva  descrivere molti problemi anche molto diversi tra loro.

La Teoria dei Gruppi e’ molto complicata e non e’ facile trasmettere le sue nozioni di base con dei semplici esempi ma ci proveremo. Supponiamo di avere l’insieme di tutti i numeri interi (positivi, negativi e lo zero). E’ possibile addizionare due qualsiasi numeri di questo insieme ed ottenere un nuovo elemento dello stesso insieme (per es. 2+3=5, -7+5=-2..) come e’ possibile considerare oltre alla somma che comprende il numero n il suo opposto –n per ritornare al punto di partenza (2+3-3=2). Questo semplice insieme con le due operazioni citate rappresentano un Gruppo. In questo caso abbiamo considerato un insieme con un numero infinito di elementi. Ma e’ possibile avere dei Gruppi anche con un numero finito di elementi. Consideriamo, per esempio, un quadrato e chiediamoci quante rotazioni e riflessioni possiamo applicare ad esso senza alterare il suo aspetto nel piano. In questo caso si parla di simmetrie della figura piana. Per il caso specifico, le rotazioni di 90, 180 e 270 gradi intorno al punto centrale sono delle simmetrie del quadrato. Stessa cosa per le riflessioni orizzontali, verticali, quelle intorno ai due assi diagonali e quella che lascia il quadrato fisso (cioè non lo muove per niente). Ovviamente e’ abbastanza intuitivo provare che qualsiasi simmetria seguita da un altra e’ una nuova simmetria del quadrato in quanto esso appare non cambiato. Nella figura seguente viene mostrato come una riflessione intorno ad una diagonale seguita da una rotazione di 90 gradi equivale ad una riflessione orizzontale per il caso di un quadrato. Esattamente come per i numeri interi dove la combinazione di due di essi ci fa rimanere nel mondo degli interi cosi con le simmetrie una combinazione di esse rimane sempre una simmetria.

 La riflessione di un quadrato intorno ad una diagonale seguita da una rotazione oraria

di 90 gradi equivale ad una riflessione orizzontale.

Come visto per  l’esempio dei numeri interi e’ possibile tornare indietro una volta applicata un’operazione. Per una simmetria che ha ruotato in senso orario di 360 gradi una figura e’ sempre possibile tornare indietro applicando una rotazione antioraria di 360 gradi. Stessa cosa per la riflessione. In totale ci sono 8 distinte simmetrie per un quadrato e tutte insieme formano un Gruppo. Appare chiaro che abbiamo una stessa struttura alla base di due insiemi completamente diversi tra loro. Questa e’ la potente bellezza dei Gruppi.

Prima di passare alla definizione matematica di Gruppo, dobbiamo introdurre il concetto di operazione binaria. Con essa combiniamo due oggetti per ottenerne un terzo. Sia l’addizione che la moltiplicazione sono due esempi di operazione binaria (nel caso dei numeri interi l’addizione di due qualsiasi numeri interi e’ ancora un numero intero e stessa cosa per la moltiplicazione). Anche la combinazione di due simmetrie per una particolare forma geometrica e’ una operazione binaria (per esempio una riflessione seguita da una rotazione). Siamo pronti quindi per definire un gruppo come un insieme, alle cui coppie di elementi e’ possibile applicare un’operazione binaria. In generale se l’operazione che applichiamo non ha ne’ un nome ne’ un simbolo associato, viene chiamata ‘moltiplicazione’ ed indicata col simbolo x. Gli elementi di un gruppo non devono essere necessariamente dei numeri o delle simmetrie e quindi l’operazione binaria non e’ necessariamente un’addizione o una combinazione di simmetrie. Comunque con l’operazione binaria non e’ permesso fare quello che vogliamo in quanto essa deve soddisfare 4 assiomi:

Assioma 1: Il prodotto di qualsiasi 2 elementi dell’insieme deve essere un altro elemento dell’insieme. In altre parole se a e b sono due elementi di un gruppo G allora anche a x b deve essere un elemento di G.

Assioma 2: Nell’insieme ci deve essere un elemento chiamato identità (generalmente indicato con e). Questo elemento e’ analogo al numero zero per l’addizione o il numero 1 per la moltiplicazione. In altre parole se a e’ un qualsiasi elemento di un gruppo G, allora e x a=a x e=a. Per l’esempio del quadrato fatto prima, la simmetria identità e’ semplicemente la simmetria che non fa nulla cioè quella che lascia il quadrato così come e’.

Assioma 3: L’operazione binaria deve essere associativa. Questo significa che  ((a x b) x c)=(a x (b x c)). Per esempio sia la moltiplicazione che l’addizione sono entrambe associative mentre la sottrazione non lo e’.

Assioma 4: Se a e’ un qualsiasi elemento del gruppo, allora deve esistere un unico elemento del gruppo, chiamato l’inverso di a, tale che:

Se l’operazione binaria e’ anche commutativa, cioè axb=bxa, allora il gruppo viene chiamato commutativo o abeliano. Fin qui la teoria. Vediamo adesso come la teoria dei gruppi può aiutarci a risolvere problemi veramente complessi in modo molto semplice. Faremo uso di un gruppo particolare chiamato il gruppo-4 di Klein dal nome del matematico Felix Klein. Questo gruppo e’ uno dei più piccoli tra quelli esistenti. Come il nome suggerisce, questo gruppo contiene 4 elementi, e descrive tra le altre cose, le 4 simmetrie di un rettangolo: riflessione rispetto ad un asse orizzontale (che chiameremo o), riflessione rispetto ad un asse verticale (che chiameremo v), rotazione di 180 gradi intorno al punto centrale del rettangolo (che chiameremo r) e l’operazione nulla cioè quella che non fa assolutamente niente (che chiameremo e, cioè l’elemento identità). Nella tabella sottostante viene riportato il risultato della combinazione di due qualsiasi simmetrie.

Osservare come nella tabella della combinazione delle simmetrie la diagonale principale e’ costituita dall’operazione di identità e come la matrice e’ simmetrica rispetto a questa diagonale. Se applichiamo per esempio  la simmetria o seguita dalla simmetria v il risultato equivale alla simmetria r  e scriveremo che o x v = r.

L’applicazione di una riflessione ad un rettangolo rispetto ad un asse orizzontale, seguita da una riflessione rispetto ad un asse verticale, equivale ad una rotazione di 180 gradi rispetto al centro di un rettangolo.

Esistono altri gruppi di Klein costituiti da solo 4 elementi. Supponiamo di andare a dormire con addosso una T-shirt con un disegno sulla parte frontale. Durante la notte fa caldo e siamo costretti a toglierci la T-shirt. Verso il mattino, sentendo freddo rimettiamo la shirt. Come troveremo la maglietta al risveglio del mattino?  A causa dello stato di sonnolenza in cui uno si trova potrebbe aver rimesso la maglietta esattamente nel verso giusto e cioè come era prima di togliersela, oppure potrebbe averla rimessa al contrario (col disegno dietro alle spalle per intenderci), oppure col lato interno della maglietta al di fuori e il disegno davanti o con la maglietta con il di dentro verso il di fuori e il disegno sulle spalle. In totale ci sono 4 differenti azioni: possiamo usare S per indicare che la maglietta e’ stata rimessa come prima (identità), B per indicare che il disegno e’ andato sulle spalle, O per indicare che l’interno della maglietta e’ al di fuori e A per indicare la condizione O con in più il disegno sulle spalle. Come già fatto precedentemente e’ possibile combinare due di queste azioni e vedere cosa succede (operazione binaria). Combinando insieme per esempio le azioni O e A otteniamo B, cioè O x A=B e cosi via come indicato nella tabella sottostante.

   

L’insieme delle quattro azioni descritte costituisce un Gruppo-4 di Klein. I gruppi con un numero di elementi molto piccolo vengono chiamati “Piccoli Gruppi”. E’ possibile costruire molti gruppi di piccole dimensioni ricorrendo per esempio alla matematica dei resti. Consideriamo, per esempio, l’insieme dei numeri (1, 3, 5, 7) e prendiamo come operazione il resto della divisione per 8 del prodotto di due qualsiasi di questi numeri. In questo caso otteniamo la seguente tabella di moltiplicazione.

 

Osserviamo come il risultato della nostra operazione binaria produca sempre elementi dell’insieme iniziale, che esiste l’elemento identità come anche l’inverso. Di nuovo abbiamo un gruppo di Klein con 4 elementi e di nuovo abbiamo la stessa struttura del gruppo della T-shirt e delle simmetrie del rettangolo. Questo può essere ancora più facilmente visibile sostituendo i numeri della tabella di moltiplicazione con i simboli di simmetria della T-shirt, cioè rimpiazzando S con 1, B con 3, O con 5 e A con 7. Corrispondenza perfetta. Anche se gli esempi vengono da contesti diversi, il gruppo e la sua struttura e’ sempre lo stesso. Bello no?  Facciamo un altre esempio considerando sempre come operazione binaria quella dei resti dei prodotti. Abbiamo 4 numeri interi 1, 3, 7, e 9 e consideriamo il resto della divisione per 10 del prodotto di due qualsiasi numeri dell’insieme. Qui di seguito la tabella di moltiplicazione. Questa volta si nota subito che c’e’ qualche cosa di diverso rispetto a quelle precedenti.

 

Ci accorgiamo che in questo caso non abbiamo l’elemento identità lungo la diagonale. In effetti questo e’ un gruppo ma non di Klein-4. Infatti mentre l’operazione binaria da noi definita applicata a 9x9 da’ l’identità questo non e’ vero per il 3 e il 7. Abbiamo trovato qualche cosa che e’ leggermente diverso dai gruppi precedenti. Per capire di cosa si tratta analizziamo un altro esempio più semplice. Supponiamo di avere 4 persone sedute intorno ad un tavolo quadrato  e supponiamo che può essere servito un piatto alla volta da un sistema automatico situato al centro della tavola.

Esistono 4 possibili azioni per il sistema automatico per porre il piatto di fronte ad ognuno dei clienti in modo che essi possano servirsi da soli. Una rotazione di 90 gradi che possiamo chiamare Q1, una rotazione di 180 gradi Q2, una rotazione di 270 gradi Q3 e una rotazione di 360 gradi Q4 che equivale all’identità’. La tabella per questo gruppo e’ data da:

Questo gruppo e’ chiamato il gruppo ciclico con 4 elementi. Se confrontiamo la tabella del gruppo ciclico con quella del gruppo degli elementi (1,3,7,9) precedente ci accorgiamo che hanno esattamente la stessa struttura suggerendo che anche esso e’ un gruppo ciclico di 4 elementi. Basta sostituire 1 a I, 3 con Q1, 7 con Q3 e 9 con Q2. Si può dimostrare ma non lo faremo, che con 4 elementi esistono solo due tipi di gruppi: quello di Klein e quello ciclico. C’e’ un solo gruppo costituito da un solo elemento contenente l’identità’. Con due elementi c’e’ bisogno di avere un elemento di identità e un elemento di inversione che già abbiamo visto come sottogruppi di due elementi dei gruppi con 4 elementi. Prendiamo per esempio le azioni S e B della T-shirt, oppure I e Q2 per il distributore di piatti. Ognuno di questi e’ un gruppo di due elementi. Con tre elementi si può dimostrare che c’e’ solo una possibile struttura. Riconsideriamo di nuovo l’esempio del ristorante e supponiamo di avere anziché 4 clienti solo 3 equamente spaziati intorno ad un tavolo rotondo (per esempio a 120, 240 e 360 gradi). Se indichiamo le tre azioni con R1, R2 e R3=I, questo costituisce un gruppo ciclico di 3 elementi indicato C₃ con la cui tabella e’:

I gruppi analizzati fino ad ora possono essere rappresentati anche tramite delle reti (networks). Ogni linea in questo caso rappresenta un azione del gruppo e i vertici il risultato della combinazione dei due elementi (vedi figura nnh)

 

  Rappresentazione tramite rete del gruppo-4 di Klein (sopra) e del gruppo ciclico (sotto)

Prima di poter passare ad una applicazione pratica, dobbiamo introdurre un altro gruppo molto importante, quello simmetrico S_n . Si tratta del gruppo di tutte le permutazioni di un insieme finito di n numeri. Ricordiamo che la permutazione e’ un modo di ordinare in successione n oggetti distinti, come nell’anagrammare una parola. Se abbiamo n oggetti il numero possibile di permutazioni e’ dato dal fattoriale n che si indica con n! . Consideriamo per semplicità il caso n=4, cioè l’insieme (1,2,3,4). Le permutazioni possono essere rappresentate con la notazione matriciale, cioè con una tabella con un certo numeri di righe e colonne. Nella prima riga si inserisce la sequenza di numeri originali e nella seconda riga invece la permutazione di interesse. Nel nostro caso indichiamo con:

due permutazioni. In questo caso per comporre le due permutazioni basta applicare all’insieme iniziale (1,2,3,4) prima la permutazione tau e poi la sigma.

Ovviamente in questo esempio l’identita’ e’ data dalla permutazione nulla. L’inverso di una permutazione, invece, si ottiene scambiando le due righe della tabella e poi riordinando le colonne in modo che la prima riga abbia l’ordine naturale.

          

Infatti ,  σ σ^-1 = I   cioè la combinazione delle due permutazioni e’ uguale all’identità’. Consideriamo adesso la seguente permutazione:

Essa manda 1 in 4, 3 in 1 e 4 in 3 lasciando fisso il 2. Questo fatto lo possiamo scrivere come (1,4,3). Una tale permutazione viene detta ciclo di lunghezza 3. Un ciclo di lunghezza 2 viene chiamato trasposizione o scambio. Osservare che ogni permutazione può essere decomposta in prodotti di scambi cioè:

Si può dimostrare che:

1) Ogni permutazione può essere decomposta nel prodotto di un numero finito

   di cicli disgiunti

2) Il numero di scambi in cui si può decomporre una permutazione o e’

   sempre pari o e’ sempre dispari.

Passiamo adesso alla pratica considerando un gioco che tutti avranno visto almeno una volta nella vita: il gioco del 15.  Si tratta di un rompicapo matematico, inventato da Samuel Loyd nel 1878. Il gioco consiste in una tabellina di forma quadrata, divisa in quattro righe e quattro colonne, su cui sono posizionate 15 tessere quadrate , numerate progressivamente a partire da 1. Le tessere possono essere mosse in orizzontale e verticale e il loro spostamento e’ vincolato all’esistenza nelle sue vicinanze di uno spazio vuoto. Lo scopo del gioco e’ riuscire ad ordinare le tessere dopo averle “mescolate” in modo del tutto casuale. Questo gioco rappresenta un problema matematico che può essere risolto con la teoria dei gruppi, in particolare con il gruppo delle permutazioni S₁₅.

Il problema, infatti, data una configurazione iniziale delle tessere, consiste nel permutare i suoi elementi per posizionarli nell’ordine naturale da 1 a 15. La domanda a cui dobbiamo rispondere e’ la seguente: e’ sempre possibile fare ciò, in altre parole e’ sempre possibile risolvere il gioco del 15 indipendentemente dalla configurazione iniziale? Per rispondere cominciamo con l’osservare che ad ogni mossa c’e’ lo scambio tra un elemento numerato e il blocchetto vuoto. Inoltre all’inizio il blocchetto vuoto si trova in basso a destra della scacchiera e li deve ritrovarsi alla fine del gioco. Se dunque durante il gioco il blocchetto vuoto viene spostato di n mosse, per riportarlo nella posizione originaria ne occorreranno altre n. Dunque le mosse necessarie per risolvere il gioco devono essere in numero pari. Ciò equivale a dire che la permutazione associata al gioco deve essere pari affinché il gioco stesso possa essere risolto. Consideriamo la seguente configurazione iniziale:

Per tornare alla configurazione originaria la permutazione associata e’:

che può essere decomposta nel seguente modo:

(13,1,8,2,7,4,3,12)*(14,6,9,10)*(15,11)

che a sua volta si può decomporre nel prodotto dei seguenti scambi:

(13,12)(13,3)(13,4)(13,7)(13,2)(13,8)(13,1)(14,10)(14,9)(14,6)(15,11)

Trattandosi di una permutazione dispari (abbiamo 11 scambi) il gioco non e’ risolvibile.

Vediamo, invece, cosa succede con quest’altra configurazione iniziale:

La permutazione associata e’:

Che può essere decomposta in:

(2,1,15,8,4)(6,3,14,7,12)(10,5,13,9,11)==(2,4)(2,8)2,15)(2,1)(6,12)(6,7)(6,14)(6,3)(10,11)(10,9)(10,13)(10,5)

Poiché si tratta di una permutazione pari, in questo caso il gioco e’ risolvibile. Esistono due diverse versioni del gioco del 15: una costituita da una tabella di plastica le cui tessere vengono mescolate manualmente e un’altra più moderna, in versione computerizzata. Nella prima versione, ogni mescolamento delle tessere corrisponde ad una permutazione che deve essere necessariamente pari, poiché per portare la casella vuota in basso a destra, qualsiasi sia la permutazione, il numero di scambi necessari e’ sempre pari. Pertanto il gioco e’ sempre risolvibile. Nella versione computerizzata, invece, poiché le configurazioni iniziali vengono scelte in modo del tutto casuale, non e’ sempre possibile risolvere il gioco.

Gli stessi concetti possono essere applicati ad un altro gioco che sicuramente tutti conoscono: Il cubo di Rubik. Questo e’ stato inventato a metà degli anni 70 dall’architetto ungherese Rubik. Si tratta di un cubo dove ciascuna faccia ha un colore diverso e questa e’ suddivisa in 9 quadratini. E’ possibile ruotare ciascuna faccia e lo scopo del gioco consiste nel ripristinare l’ordine iniziale con tutte le facce colorate allo stesso modo. Chiunque ha giocato con questo cubo sa che bastano poche mosse per trovarsi in una situazione di “panico” senza nessuna speranza di ritorno alla condizione iniziale. Per fortuna non c’e’ nessun motivo per sentirsi persi, in quanto esistono diverse tecniche per risolvere il rompicapo e in cui la teoria dei gruppi gioca un ruolo fondamentale.

 

 Cubo di Rubik risolto (sinistra) e cubo di Rubik in una delle sue possibili configurazioni iniziali.

In figura  il cubo di destra mostra una delle possibili configurazioni iniziali. Ma quante di queste configurazioni esistono? Si può dimostrare che ce ne sono 43 252 003 274 489 856 000 (si tratta di un numero con ben 20 cifre che a leggerlo suona più o meno così: quarantatremila miliardi di miliardi). Tenendo inoltre conto che ci sono in totale 54 quadratini, si capisce che il cubo di Rubik altro non e’ che un sottogruppo di S₅₄. Infatti le rotazioni delle facce del cubo altro non sono che particolari permutazioni del gruppo simmetrico su 54 elementi (quadratini colorati). Per iniziare a fare qualche cosa di interessante col nostro cubo magico, dobbiamo introdurre alcune notazioni. Prima di tutto dobbiamo trovare un modo per indicare le 6 facce del cubo.

· S sta ad indicare la faccia di “sinistra”

· D sta ad indicare la faccia di “destra”

· F sta ad indicare la faccia di “fronte”

· R sta ad indicare la faccia sul “retro”

· A sta ad indicare la faccia in “alto”

· B sta ad indicare la faccia in “basso”

Ogni cubetto può essere individuato, invece, usando le lettere minuscole delle   facce  a cui esso appartiene. Cosi ad (o da) sta ad indicare il cubetto dello spigolo sul lato destro in alto (cubetto indicato in celeste) e adf il cubetto all’angolo di fronte ad esso (cubetto grigio). Indichiamo poi una rotazione di 90 gradi in senso orario di una faccia con la lettera che individua la faccia stessa. Ad esempio la rotazione di 90 gradi in senso orario della faccia destra la indicheremo semplicemente con la lettera D. Viceversa per indicare una rotazione antioraria sempre di 90 gradi aggiungeremo un apice D’.  Con questo simbolismo e’ possibile scrivere qualsiasi sequenza di mosse, indipendentemente dalla sua complessità. Un esempio banale è dato da quattro successive D ovvero DDDD. Trattandosi di quattro rotazioni di 90 gradi ognuna, questo corrisponde ad una rotazione di un angolo giro cioè di una identità (di fatto nulla è cambiato).

Torniamo al caso di una semplice rotazione e vediamo che effetto ha sui cubetti della faccia che ruota. La mossa D ha l'effetto di portare il cubetto ad sulla faccia posteriore e occupare il posto del cubetto rd. Allo stesso tempo, il cubetto rd passa sotto ad occupare la posizione bd, il cubetto bd si sposta ad occupare il posto del cubetto fd e il cubetto fd sale in alto in ad. Simbolicamente, tutto ciò si può rappresentare con il seguente 4-ciclo

 

che per noi adesso dovrebbe essere familiare! Chiaramente, non è importante da quale cubetto partiamo. Ma il 4-ciclo appena visto non descrive tutta la rotazione D; infatti non abbiamo ancora descritto gli effetti di D sui cubetti degli angoli. In modo analogo possiamo rappresentare questi effetti con il seguente 4-ciclo

Ora  possiamo dare una rappresentazione degli effetti di D su tutti i cubetti della faccia destra. Possiamo scrivere infatti

che è un prodotto di cicli; da notare che manca il quadratino centrale, ma del resto questo rimane fermo. Da questa rappresentazione in cicli disgiunti è possibile calcolare l’ordine di questa mossa. Trattandosi di due 4-cicli disgiunti abbiamo che l’ordine è proprio 4, cioè  D⁴=1, e questo era proprio ciò che ci aspettavamo; operando quattro volte con D, infatti, torniamo alla configurazione iniziale. Per finire passiamo alla classificazione dei gruppi semplici, detta anche teorema enorme, che come affermato dal matematico Daniel Gorenstein e’ uno dei più importanti risultati della matematica. Per prima cosa vediamo cosa sono i gruppi semplici. Per fare ciò consideriamo un cubo e tutte le sue rotazioni. In totale ce ne sono 24. Le prime 9 sono intorno agli assi passanti per le facce opposte del cubo (ci sono 3 assi e 3 possibili rotazioni [90, 180 e 270 gradi] intorno ad ognuno).

Poi ci sono le rotazioni intorno agli assi passanti per il centro degli spigoli opposti come mostrato sotto. In totale ci saranno 6 assi di questo tipo e quindi 6 possibili rotazioni (per ogni asse solo la rotazione di 180 gradi lascia inalterato il cubo di partenza).

L’ultima famiglia di rotazioni e’ quella intorno agli assi passanti per i vertici opposti del cubo. Ce ne sono 4 in totale, ognuna con rotazioni di 120 e 240 gradi.

Se consideriamo adesso, un asse passante per i punti centrali di due facce opposte del cubo, e ’ possibile ruotare il cubo intorno a questo asse di 90, 180, 270 e 360 gradi senza alterare la configurazione iniziale. Queste 4 rotazioni, ovviamente altro non sono che 4 elementi delle 24 rotazioni del cubo descritte prima. Quindi esse costituiscono un gruppo più piccolo formato da 4 elementi. Il gruppo completo di rotazioni di un cubo ha all’interno di esso dei gruppi più piccoli. Essenzialmente, un gruppo semplice, e’ uno che non può essere diviso in gruppi più piccoli così come succede per i numeri primi e gli atomi delle molecole. L’importanza dei gruppi semplici deriva dal Teorema di Jordan-Holder, dimostrato intorno al 1889. Esso stabilisce che tutti i gruppi finiti possono essere costruiti a partire dai gruppi semplici finiti.

Un gruppo semplice finito o appartiene a una di 4 famiglie particolari (Gruppo ciclico, Gruppo alterno, Gruppo lineare, Gruppo di tipo Lie) oppure a uno dei cosiddetti 26 gruppi individuali chiamati anche gruppi sporadici. Il più grande gruppo individuale e’ il cosiddetto mostro con ben 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 elementi.